4.3 생성집합

정의

정의

  S = {w1, w2, ...., wr|가 벡터공간 V내의 공집합이 아닌 벡터집합이면

  1. S내의 벡터듫의 가능한 모든 선형(일차) 결합의 집합 W는 V의 부분공간이다

  2. 1의 집합 W는 S내의 모든 벡터를 포함하는 V의 가장 작은 부분공간이다. 즉, 이들 벡터를 포함하는 또다른 임의의 부분공간은 W를 포함한다.

  부분공간 W는 S에 의해 생성된 V의 부분공간이라 불린다. S의 벡터 w1, w2, .., wr이 W를 생성한다 하고, 다음과 같이 표기한다

     W = span{w1, w2, .. ,wr}또는 W = span{S}, 이때 S는 W의 생성집합이다.

 

생성집합을 확인하는 절차

1. S = {w1, w2, ..., wr}을 벡터공간 V의 주어진 벡터집합이라 하고, x를 V의 임의의 벡터라 하자.

 2. 벡터 방정식의 양쪽에 대응하는 성분을 같다고 놓아 얻어진 선형 시스템에 대해 첨가행렬을 구성한다

     k1w1 + k2w2 + .... + krwr = x

3. 위의 첨가행렬이 선형 일차 방정식의 해를 갖는지 보고 해를 갖지 않으면 생성 집합이 아니다.

정리

  벡터 공간의 생성집합은 유일하지 않다

S = {v1, v2, ..., vr}과 S' = {w1, w2, ..., wk}를 벡터공간 V에 속하는 벡터들의 공집합이 아닌 집합이라 하면

    span{v1, v2, ..., vr} = span{w1, w2, .., wk}

이기 위한 필요충분조건은 S의 각 벡터가 S'의 벡터들의 일차결합이고, 역으로 S'의 각 벡터가 S의 벡터들의 일차결합이 되는 것이다.