4.2 부분공간

정의

벡터 공간 V의 부분집합 W가 V상에서 정의된 덧셈과 스칼라 곱셈에 대해 그 자체로서 벡터 공산이 될 W를 V의 부분공간이라 한다.

 

W에 상속되지 않는 공리

1. 덧셈에 대한 W의 닫힘성

4. W내에 영벡터의 존재

5. W내의 각 벡터에 대한 음이 W내에 존재

6. 스칼라솝셈에 대한 W의 닫힘성

 

부분 공간 테스트

정리

  벡터 공산 V의 공집합이 아닌 부분집합 W가 V의 부분공간이 되기 위한 필요충분조건은 다음 조건을 만족하는 것이다

1. 만약 u와 v가 W의 벡터이면 u + v도 W의 벡터이다

2. k가 임의의 스칼라이고 u가 W의 벡터이면 ku도 W의 벡터이다.

 

벡터공간 Mnn의 다음 부분집합들은 Mnn의 부분공간이다

1. 대칭행렬의 집합

2. 상삼각행렬의 집합

3. 하삼각행렬의 집합

4. 대각행렬의 집합

 

부분공간의 구성

w1, w2,...,wr이 벡터공간 V의 부분공간이면, 이들 부분 공간의 교집합 또한 V의 부분공간이다.

 

동차계의 해공간

n개의 변수를 가진 동차 연립방정식 Ax=0의 해집합은 R^n의 부분공간이다.