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수학/선형대수학17

4.6 차원 유한차원 벡터 공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다 V가 유한차우너 벡터공간이고 S={v1, v2, ..., vn}이 임의의 기저라 하자. 1. n개보다 많은 벡터를 갖는 집합은 일차 종속이다 2. n개보다 적은 벡터를 갖는 집합은 V를 생성하지 못한다. 3. 집합 S가 정확히 n개의 벡터를 가지지않는 한 기저가 될 수 없다. 차원: 벡터 공간을 구성하는 벡터 기저의 갯수 유한차원 벡터공간 V의 차원은 dim(V)로 표기하고, V의 기저 안의 벡터들의 개수로 정의한다. 더불어, 영벡터공간은 0차원을 갖는 것으로 정의된다. 더하기/빼기 정리 S를 벡터공간 V의 공집합이 아닌 벡터집합이라 하자 1. S가 일차독립이고, V가 span(S)에 속하지 않는 V의 벡터이면 V를 S에 추가해 얻어진 집합 S.. 2021. 5. 9.
4.5. 좌표와 기저 벡터 공간의 기저(좌표계의 개념을 일반 벡터 공간으로 확장) 벡터 공간 V가 유한개의 벡터에 의해 생성된다면 유한차원이라 하고, 그런 집합이 존재하지 않으면 무한차원이라 한다. 정의1. 만약 V가 임의의 벡터공간이고 S = {v1, v2, .., vn}이 벡터 V안의 유한 집합이라면, s다 다음 두 조건을 만족할 때 V의 기저라 한다. 1. s는 일차독립 2. s는 V를 생성한다. 기저: 벡터 공간을 생성하는 최소한의 벡터 모임 좌표 s = {v1, v2, ...., vn}이 벡터공간 V의 기저라 하자. 그러면 V속의 모든 벡터 V는 단 한가지 방법 V = c1v1+ c2v2+ ....+ +cnvn 으로 표현된다. s = {v1, v2, ...., vn}이 벡터공간 V의 기저이고, V = c1v1+ c2.. 2021. 5. 9.
4.4 선형 독립 일차 독립과 일차 종속 S = {v1, v2, .., vr}가 벡터공간 V의 두 개 이상의 벡터들의 집합이고 S의 어떤 벡터도 다른 벡터의 선형결합으로 표현될 수 없다면, S는 선형독립집합(linearly independent set)이라 한다. 선형독립이 아닌 집합은 선형종속집합(linearly dependet ste)이라 한다. 만약 집합 S가 단 하나의 벡터로 구성된다면 그 집합이 선형독립이기 위한 필요충분조건은 그 벡터가 영벡터가 아닌것이다. 벡터집합의 선형독립여부 확인 벡터공간 V의 공집합이 아닌 집합 S가 선형독립이기 위한 필요충분조건은 벡터방정식 k1v1 + k2v2 + .... + krvr = 0 을 만족시키는 계수가 k1 = 0, k2 = 0, ..., kr = 0인 것이다(자명해가 나온.. 2021. 4. 19.
4.3 생성집합 정의 정의 S = {w1, w2, ...., wr|가 벡터공간 V내의 공집합이 아닌 벡터집합이면 1. S내의 벡터듫의 가능한 모든 선형(일차) 결합의 집합 W는 V의 부분공간이다 2. 1의 집합 W는 S내의 모든 벡터를 포함하는 V의 가장 작은 부분공간이다. 즉, 이들 벡터를 포함하는 또다른 임의의 부분공간은 W를 포함한다. 부분공간 W는 S에 의해 생성된 V의 부분공간이라 불린다. S의 벡터 w1, w2, .., wr이 W를 생성한다 하고, 다음과 같이 표기한다 W = span{w1, w2, .. ,wr}또는 W = span{S}, 이때 S는 W의 생성집합이다. 생성집합을 확인하는 절차 1. S = {w1, w2, ..., wr}을 벡터공간 V의 주어진 벡터집합이라 하고, x를 V의 임의의 벡터라 하.. 2021. 4. 19.
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