4.6 차원

유한차원 벡터 공간의 모든 기저는 같은 개수의 벡터를 갖는다

V가 유한차우너 벡터공간이고 S={v1, v2, ..., vn}이 임의의 기저라 하자.

  1. n개보다 많은 벡터를 갖는 집합은 일차 종속이다

  2. n개보다 적은 벡터를 갖는 집합은 V를 생성하지 못한다.

  3. 집합 S가 정확히 n개의 벡터를 가지지않는 한 기저가 될 수 없다.

 

차원: 벡터 공간을 구성하는 벡터 기저의 갯수

유한차원 벡터공간 V의 차원은 dim(V)로 표기하고, V의 기저 안의 벡터들의 개수로 정의한다. 더불어, 영벡터공간은 0차원을 갖는 것으로 정의된다.

더하기/빼기 정리

  S를 벡터공간 V의 공집합이 아닌 벡터집합이라 하자

  1. S가 일차독립이고, V가 span(S)에 속하지 않는 V의 벡터이면 V를 S에 추가해 얻어진 집합 S U {V}또한 일차독립이다. 

  2. V가 S에 속한 벡터로 S에 속하는 나머지 벡터의 일차결합으로 표시될 수 있고, S - {V}가 V를 S에서 제거해서 얻어진 집합을 나타내면, S와 S - {V}는 같은 공간을 생성한다. 즉, 

        span(S) = span(S - {V})이다.

 

V가 n차원 벡터 공간이고 S가 정확히 n개의 벡터를 갖는 V의 집합이면. S가 V의 기저일 필요충분조건은 S가 V를 생성한다든지 또는 S가 일차독립인 것이다.

 

S를 유한차원 벡터공간V의 유한벡터집합이라 하자

  1. S가 V을 생성하나 V의 기저가 아니면 S에서 적당한 벡터들을 제거하여 V의 기저로 축소할 수 있다.

  2. S가 일차독립집합이지만 V의 기저가 아니면 S에 V의 적당한 벡터를 추가해 V의 기저로 확장할 수 있다.

 

W가 유한차원 벡터공간V의 부분공간이면

  1. W는 유한차원이다

  2. dim(W) <= dim(V)
  3. W=V일 필요충분조건은 dim(W)=dim(V)